La convolución. Sistemas LTI

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Existen dos tipos de personas, los que hablan de la convolución como una palabra rimbombante, para hacerse los interesantes, y los que hablan de ella, refiriéndose a una herramienta con usos realmente fascinantes en el audio digital.

Sin embargo, por desgracia, la palabra convolución, es una palabra que causa cierto respeto, por tres factores principalmente:

  1. Es un operación matemática (relativamente compleja)
  2. Es un concepto reciente en el mundo del audio
  3. Se le ha dado un cierto aire de complejidad, por parte de gente que han querido magnificar su misticismo (desarrolladores, vendedores y técnicos) para intentar vender un nuevo producto, que si bien es interesante ya por sí mismo, si en su publicidad viene acompañado de la palabra convolución, pues lo hace mas guay aun.

La convolución, es realmente un operador matemático, como puede ser una suma o una multiplicación. Pero al contrario de la suma o la multiplicación, que las usas para todo desde que tienes 6 años, la convolución es una operador que se emplea a lo largo de tu vida, única y exclusivamente cuando te dedicas a unos pocos campos en los que es necesario.

Uno de estos campos es el que trata con el procesado de señales y sistemas y en este campo es un operador que se usan para muchisimas cosas. El audio digital, se beneficia de este tratamiento o procesado de señales, y por tanto la idea de la convolución es aplicable también al mundo del audio digital.

¿Pero en que materias es aplicable la convolución en el audio? Pues realmente en muchisimas más de las que puedas imaginar, el problema es que al ser procesados internos que se realizan por plugins, uno no es consciente realmente. Sin embargo existen dos procesados en los que el fabricante, si nos advierte claramente de que está empleando la convolución, y son ya tan conocidos, que han creado una moda por sí misma: los simuladores de diferentes equipos de audio (amplficadores, previos, ecualizadores, etc…) y las unidades de reverberación por convolución.

Sin embargo, este no es el único ámbito del audio digital en el que se usa la convolución, cualquier sistema que implique procesar una señal con la respuesta impulsiva de un sistema, va a llevar asociada en alguno de sus pasos una convolución.

¿Pero qué es una convolución?  Bueno pues llegados a este punto es cuando la cosa se pone curiosa por varias razones. Digamos que toda la parte matemática surge del concepto de suma de convolución (integral de convolución). Este concepto es denso de por sí, así que intentar asimilar este concepto de una tacada podría suponer que el 99% de la gente termine de leer en este punto. Así que considero más interesante, ir diviendo en varias entradas la teoría que se esconde detrás de esto, para que la gente no entre en shock directamente, y lo pueda ir digiriendo más fácilmente. Sería una auténtica lástima que la gente se desmotivase y abandonase este tema, simplemente porque se han metido un atracón el primer día.

Bueno pues empecemos por los sistemas LTI. Los sistemas LTI, son los sistemas a partir de los cuales nace la teoría que se esconde detrás de la convolución. Son sistemas que verifican dos propiedades: la Linearidad y la Invarianza en el Tiempo (LIT=LTI). Voy a explicar de una forma amigable ambas propiedades y para ello voy a empezar por la invarianza en el tiempo.

La invarianza en el tiempo de un sistema se puede definir como aquella propiedad, por la cual ante una determinada entrada la salida de un sistema, es siempre la misma, independientemente del momento temporal en que se haga. Es decir la señal de salida solo depende de la señal de entrada, y no del momento en el cual decida hacer el experimento. Una máquina de refrescos es un sistema invariable en el tiempo, porque independentientemente del día, la hora, mes, año, si yo hecho una moneda, y aprieto el botón de coca cola la máquina me devuelve una coca cola, si yo aprieto el botón de fanta, me devuelve una fanta, si aprieto el botón de agua me devuelve una botella de agua, ayer, hoy y mañana, siempre funciona igual. Sin embargo un sistema formado por un condensador y una resistencia, como un filtro paso bajo, no es un sistema invariable en el tiempo, ya que con el tiempo, los condensadores presentan una deriva, haciendo que varíe su valor, y haciendo por tanto que la frecuencia de corte del filtro varíe. Si yo hoy meto una señal, la señal no va a ser exactamente igual a la señal que yo pueda obtener dentro de 30 años, cuando el condensador ya ha variado su valor, ante la misma señal de entrada, la señal de salida varía dependiendo del momento en lo que lo haga.

La siguiente propiedad, la de la linealidad, es la madre del cordero de la idea de la suma de la convolución, y es aquí donde más me voy a extender. Para definir la linealidad existen dos formas, la coloquial, entre nosotros para entendernos, y la matemática, que es la que asienta las bases de la convolución. Primero os voy a contar la coloquial, para entendernos, y luego os voy a comentar la matemática, para que en el siguiente entrada podáis entender la suma de convolución.

La linealidad, es una propiedad matemática, por la cual a la salida de un sistema solo existen las señales de entrada, procesadas por el sistema. Cualquier otra señal que aparezca a la salida y que no estuviese presente a la entrada, va a dar como resultado un sistema no lineal. Por ejemplo, si introducimos una señal sinusoidal en un amplificador, y como fruto de apretarlo comienza a distorsionar, podremos apreciar como se crean señales, que originalmente no estaban en la señal de entrada.

Para definirla matemáticamente tenemos que recurrir al principio de superposición, que nos dice que para analizar un sistema en el cual se aplican diferentes señales, se puede estudiar el mismo, a partir del analisis del comportamiento del sistema para cada una de estas señales de forma independiente y expresar el resultado como una combinación lineal (una serie) de cada una señales a la entrada y cada una de las señales a la salida. En el PDF que os adjunto al final podéis ver la expresión matemática nombrada como “ecuación 1”

Para que un sistema sea lineal, además de esta superposición, se debe verificar el escalamiento, que dice que si una señal a la entrada es escalada en su amplitud, la señal de salida del sistema una vez procesada poseé el mismo escalamiento. En el PDF aparece nombrado como “ecuación 2”

La propiedad de la linealidad, une ambas ecuaciones en una sola, que define la linealidad matemática. En el PDF aparece como “ecuación 3”

Y hasta aquí, la primera parte. Dentro de unos días os preparare la segunda entrega que tratará de la suma de convolución, y en la tercera entrega os comentaré la diferencia entre la convolución usual y la convolución dinámica

Sistemas LTI PDF

 

11 Comentarios

  1. Cierto, eso de convolución y deconvolución suena a cosa muy complicada y no lo es. Hacer una transformada a mano es muy complejo pero para eso están los ordenadores. En las facultades se explica Laplace, Fourier… pero luego los ingenieros no saben hacer una FFT, y los técnicos saben hacer una FFT pero no saben lo que están haciendo matemáticamente. Es curioso que la función de transferencia no suena tanto a complicada, siendo la transformada de la convolución de las respuestas a impulso de los componentes de un sistema.

    • Me alegro de que te guste, a veces es difícil explicar conceptos relativamente complejos, de una forma simple, sin faltar para ello a la rigurosidad del concepto. En la próxima entrada aplicaré el principio de superposición para llegar hasta el concepto de suma de convolución, que definirá por sí mismo lo que es una convolución…

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